Membuktikan (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3

Identitas di atas akan dibuktikan dengan menggunakan kotak berbentuk kubus, sehingga dibutuhkan beberapa kubus (dapat menggunakan dadu atau apapun yang berbentuk kubus). Adapun pembuktiannya dapat mengikuti langkah – langkah berikut:

Misalkan a = 3 satuan dan b = 1 satuan

1.             Misalkan sebuah kubus berukuran 1 x 1 x 1 (b x b x b), yang juga mewakili bentuk b³ adalah:

Gambar 1.1  Kubus berukuran 1 x 1 x 1

Sehingga, a³ dapat diwakilkan dengan menggunakan sebuah kubus berukuran 3 x 3 x 3 (a x a x a) yang tersusun dari b³ sebanyak 27 buah. Seperti pada gambar berikut:

.Gambar 1.2  Kubus berukuran 3 x 3 x 3

2.             Bentuk 3a²b merupakan a²b + a²b + a²b, sehingga 3a²b dapat diwakilkan oleh 3 buah balok berukuran 3 x 3 x 1 (a x a x b). Seperti pada gambar berikut:

Gambar 1.3  Balok masing  masing berukuran 3 x 3 x 1

3.             Bentuk 3ab² merupakan ab² + ab² + ab², sehingga 3ab² dapat diwakilkan oleh 3 buah balok berukuran 3 x 1 x 1 (a x b x b). Seperti pada gambar berikut:

Gambar 1.4  Balok masing – masing berukuran 3 x 1 x 1

4.             Bentuk (a + b)³ merupakan (a + b) x (a + b) x (a + b), sehingga (a + b)³  merupakan kubus dengan ukuran 4 x 4 x 4. Seperti pada gambar berikut:

Gambar 1.5  Kubus berukuran 4 x 4 x 4

5.             Kegiatan selanjutnya, lengkapilah pertanyaan – pertanyaan berikut:

Berapa jumlah kubus yang mewakili a³ = …

Apakah kalian mendapati ada 27 kubus yang mewakili a³, kalau ya, benar.

Berapa jumlah kubus yang mewakili 3a²b = …

Apakah kalian mendapati ada 27 kubus yang mewakili 3a²b, kalau ya, benar.

Berapa jumlah kubus yang mewakili 3ab² = …

Apakah kalian mendapati ada 9 kubus yang mewakili 3ab², kalau ya, benar.

Berapa jumlah kubus yang mewakili b³ = …

Apakah kalian mendapati ada 1 kubus yang mewakili b³, kalau ya, benar.

Berapa jumlah kubus yang mewakili a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = …

Apakah kalian mendapati ada (27 + 27 + 9 + 1) = 64 kubus yang mewakili

a³ + 3a²b + 3ab² + b³, kalau ya, benar.

Berapa jumlah kubus yang mewakili (a + b)³ = …

Apakah kalian mendapati ada 64 kubus yang mewakili (a + b)³, kalau ya, benar.

Dapat kita lihat, bahwa banyaknya kubus yang menyusun a³ + 3a²b + 3ab² + b³ sama banyaknya dengan kubus yang menyusun (a + b)³. Jadi, dapat diambil kesimpulan bahwa (a + b)³  = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.